Chunk Test

ツイート風味の短い文章と関連リンク


結城浩 @hyuki

命題

素数は無数に存在する。

証明

背理法を用いる。素数が有限個しか存在しないと仮定し、その個数を$n$とする。$2$と$3$は素数であるから$n \geqq 2$であり、すべての素数は、 $$ p_1,\ldots,p_n $$ と列挙できる。 ここで、すべての素数の積に$1$加えた数を$q$とする。すなわち、 $$ q = p_1\cdots p_n + 1 $$ である。 $q$は$1$より大きい整数で、素数$p_1,\ldots,p_n$のどれでも割り切れない。したがって$q$は素数である。 ところで$q$は、どの素数$p_1,\ldots,p_n$よりも大きい。したがって$q$は素数ではない。 これは矛盾である。したがって素数は無数に存在する。(証明終わり)


自分の身体を動かして

## 定義

$R$は可換環とします。

$R$の部分集合$I$は、$R$の加法に関して群であるとします。

$R$の任意の要素$r$と、$I$の任意の要素$a$について、$ra$が$I$の要素となるとき、$I$をイデアルと呼びます。

$$r \in R, a \in I \Longrightarrow ra \in I$$

## 例

$R$として整数環$\mathbb Z$を考えたとき、イデアル$I$にはどんなものがあるか、例を一つ作ってみましょう。

たとえば、$3$が$I$の要素であるとしたとき何が起きるでしょうか。$I$は$\mathbb Z$の加法に関して群である必要がありますから、$I$は$3$の倍数をすべて要素に持つことになります。

では仮に、$I$を「$3$の倍数全体の集合」に等しいとしてみると、$I$はイデアルになるでしょうか。まず、$3$の倍数全体の集合は$\mathbb Z$の加法に関して群になっていますから、その点については大丈夫。では、$ra$が$I$の要素になるという点はどうでしょう。

それも大丈夫です。なぜなら、$\mathbb Z$の任意の要素(つまり整数)と、$I$の任意の要素$a$(つまり$3$の倍数)を掛けた$ra$は$I$の要素(つまり$3$の倍数)になっているからです。

したがって、$I$を$3$の倍数全体の集合としたとき、$I$は確かに整数環$\mathbb Z$のイデアルとなっています。


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結城浩の「コミュニケーションの心がけ」2017年9月5日 Vol.284 | 結城浩

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もう九月ですね!

ここ数日は急激に寒くなり、 「もう秋なんだなあ」と思うことが多くなりました。

あなたは、いかがお過ごしでしょうか。

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